后缀自动机教程

对于一个关于只接受$str$后缀的后缀自动机,其后缀肯定能从起始状态$S$合理地转移,而非后缀必然无法转移

定义

定义相关的函数

$trans[u][ch]=v$:表示$u$状态沿着$ch$边转移到了$v$状态的转移函数

$endpos(s)$:表示$str$的任意子串$s$的终止位置集合,用于子串归类

性质1:当$len(s1) \le len(s2)$且$endpos(s1)$包含$endpos(s2)$所有子集时,$s2$是$s1$的后缀(充要)

当两个集合$endpos(s1)==endpos(s2)$,则认为子串$s1$和$s2$属于同一类

对于每一个相同的归类都设为一个状态,假定其中一个为$u$

$substr(u)$:表示归为同一状态$u$的所有子串集合

$longest(u)$:$substr(u)$中最长的子串

$shortest(u)$:$substr(u)$中最短的子串

性质2:$substr(u)$中每一个子串$s$都是$longest(u)$的后缀;$longest(u)$的后缀中满足$len(s) \le len(shortest(u))$的都属于状态$u$,既$substr(u)$

有了前面的东西就可以考虑一定的优化如下

$slink[u]=v$:我们用suffix link来表示不属于该状态的$longest(u)$的后缀(由性质1,由于长度小而无法表示不包含的$endpos$则用$slink$连接起来,直到起始状态$S$为止;$slink[u]=v$的沿向一定是$endpos(v)$逐渐包含$endpos(u)$的过程,而$endpos(S)$则包含所有位置)

$minlen[u],maxlen[u]$:分别表示状态$u$中最短和最长的字符串的长度(由性质2,这些都是连续的后缀,无需多余记录真实的字符串)

为此我们用$slink$替代了$endpos$,同时$minlen,maxlen$替代了$substr,shortest,longest$

构造过程

  • 考虑增量法,假设已经构造好$str[1...i]$的后缀自动机,如何在线增加一个$str[i+1]$(设为$ch$)以满足$str[j...i+1],1 \le j \le i+1$的构造
  • 至少$str[1...i+1]$肯定没有重复的出现在原有的任一状态中,假设新增的状态为$u$,令$str[1...i]$所在的状态$v$(此前最后一个新增的状态)新增转移$trans[v][ch]=u$(此时也表示了$str[j...i],1 \le j \le n-minlen(u)+1$的转移),并沿着$slink[v]=w$的路径,对所有的$trans[w][ch]=null$都把对应转移指向$u$
  • 对于第一个已经存在先前的状态$x$满足$trans[w][ch]=x$的情况,需要分两类考虑
  • 一类是$maxlen[w]+1=maxlen[x]$,此时表明该状态$x$完全重复且无多余地覆盖了$str[j...i+1]$的后缀,那么只需$slink[u]=x$,结束流程
  • 另一类是$maxlen[w]+1 \lt maxlen[x]$,此时需要划分原有的$x$的子串为三个部分,$minlen[x]...maxlen[w]+1...maxlen[x]$,考虑把状态$x$拆分出一部分$y$来继承原有$[minlen[w],maxlen[w]+1]$的部分,$x$只包含剩下的部分(此时$slink[y]=slink[x],slink[x]=y$),那么状态$y$的出现使得问题回归到上一类的情况,只需$trans[w][ch]=y,slink[u]=y$
  • 对于上面的转移可能不止一个$w$转移向原$x$,所以需要把连续的$trans[w][ch]$置为$y$

完成版

#include<bits/stdc++.h>
#define fast_io() do{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);}while(0)
using namespace std;

namespace util {
    template<typename T>
    inline void alloc(vector<T> &v) {
        v.emplace_back();
    }
    template<typename T>
    inline void empb(vector<T> &v,T &arg) {
        v.emplace_back(arg);
    }
}

using namespace util;
struct SuffixAutomaton {
    vector<array<int,26>> trans;
    vector<int> slink,minlen,maxlen;
    int last;

    inline void init() {
        alloc(trans);
        alloc(slink);
        alloc(minlen);
        alloc(maxlen);
    }

    SuffixAutomaton() {
        init();
        last = 0;
        slink[0] = -1;
        minlen[0] = maxlen[0] = 0;
        trans[0].fill(-1);
    } 

    int state(int tr,int suf,int mn,int mx) {
        int cur = trans.size();
        alloc(trans);
        if(~tr) trans[cur] = trans[tr];
        else trans[cur].fill(-1);
        empb(slink,suf);
        empb(minlen,mn);
        empb(maxlen,mx);
        return cur;
    }

    int add(char ch) {
        int c = ch - 'a';
        int u = state(-1,-1,-1,maxlen[last]+1);
        int v = last;
        while(v!=-1 && trans[v][c] == -1) {
            trans[v][c] = u;
            v = slink[v];
        }
        if(v == -1) {
            minlen[u] = 1;
            slink[u] = 0;
            return last = u;
        }
        int x = trans[v][c];
        if(maxlen[v]+1 == maxlen[x]) {
            slink[u] = x;
            minlen[u] = maxlen[x]+1;
            return last = u;
        }
        int y = state(x,-1,-1,maxlen[v]+1);
        minlen[y] = maxlen[slink[y] = slink[x]]+1;
        minlen[x] = maxlen[slink[x] = y]+1;
        minlen[u] = maxlen[slink[u] = y]+1;
        while(v != -1 && trans[v][c] == x) {
            trans[v][c] = y;
            v = slink[v];
        }
        return last = u;
    }
};

int main() {
    fast_io();
    string str;
    cin >> str;
    SuffixAutomaton sam;
    for(int i = 0; str[i]; i++) {
        sam.add(str[i]);
    }
    long long res = 0;
    for(int i = 1; i < sam.trans.size(); i++) {
        res += sam.maxlen[i]-sam.minlen[i]+1;
    } 
    cout << res << endl;
    return 0;
}

old version: https://paste.ubuntu.com/p/TjFs5wVS8d/

参考

hihocoder127/128解题方法提示

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