2018青岛网络赛G – Couleur 区间上的启发式合并

题意:给出$a[1...n]$,共$n$次操作,每次删除一个位置$p_i$(强制在线),此时区间会变为两个分离的区间,求每次操作的最大区间逆序对

首先要知道必要的工具,按权值建立的主席树可以在$O(nlogn)$内得到任意区间长为$n$的逆序对

但每次切除的点如果是不断沿着边来切,那么要统计的区间总长是$O(n^2)$

考虑逆序对的贡献是可以互为计算得到的,那么能否每次只对相对较小的区间的复杂度进行统计,得到$O(nlogn)$的区间统计总长?

如果已知一个区间$[L,R]$的总逆序对$oldans$,切点为$M$,且更靠左边, 那可以对小区间的逆序数对进行暴力统计,得到$[L,M-1]$的所有相互贡献,此时记为$ans1$ 然后再$O(logn)$计算$a[M]$对$[L,M-1]$的贡献,记为$tmp$ 最后询问$T[R]-T[K]$的子树中比$a[i],i∈[L,M]$小的个数,记为$tmp2$ 那么区间$[L,M-1]$的逆序数对为$ans1$,$[M+1,R]$的逆序数对为$oldans-ans1-tmp-tmp2$ 以上操作均可以在$O(nlogn)$内完成,$n$为小区间的长度

切点靠右同理,因此总的复杂度为$O(nlog^2n)$

还有一些细节需要处理,如何在一开始就得知$[L,R]$的总逆序数对, 初始化时先计算出$[1,n]$的贡献,剩下的必然在前面的操作中已经统计得到$ans1$或$ans2$ 考虑区间总是不断分裂的,我们可以用简单的平衡树来维护位置$M$对应最近的$L$和$R$ 并且答案总是对应于每一个$L$,都有一个唯一的$R$和$ans$相对应,这部分只需用简单的数组即可得到

而$ans$的最优解需要在分裂时及时删除对应的元素,再多拿一个multiset动态维护最大值即可

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<set>
#include<ctime>
#define rep(i,j,k) for(register int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(register int i=j;i>=k;i--)
#define erep(i,u) for(register int i=head[u];~i;i=nxt[i])
#define fastIO ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define println(x) printf("%lld\n",(ll)(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pr;
const int MAXN = 1e5+11;
const int MAXM = 4e6+11;
const int MOD  = 142857;
const int INF  = 1<<30;
int T[MAXN];
int a[MAXN],p[MAXN];
struct FST{
    int cnt[MAXM];
    int lc[MAXM],rc[MAXM];
    int tot;
    void init(){tot=0;lc[tot]=rc[tot]=cnt[tot]=0;}
    int build(int l,int r){
        int cur=++tot;
        lc[cur]=rc[cur]=cnt[cur]=0;
        if(l==r) return cur;
        int mid=l+r>>1;
        lc[cur]=build(l,mid);
        rc[cur]=build(mid+1,r);
        return cur;
    }
    int update(int old,int l,int r,int k,int v){
        int cur=++tot;
        lc[cur]=lc[old];
        rc[cur]=rc[old];
        cnt[cur]=cnt[old]+v;
        if(l==r) return cur;
        int mid=l+r>>1;
        if(k<=mid) lc[cur]=update(lc[old],l,mid,k,v);
        else rc[cur]=update(rc[old],mid+1,r,k,v);
        return cur;
    }
    ll query(int cur1,int cur2,int l,int r,int L,int R){//l r
        if((cur2|cur1)==0) return 0;
        if(L<=l&&r<=R) return cnt[cur2]-cnt[cur1];
        ll ans=0;
        int mid=l+r>>1;
        if(L<=mid) ans+=query(lc[cur1],lc[cur2],l,mid,L,R);
        if(R>mid)  ans+=query(rc[cur1],rc[cur2],mid+1,r,L,R);
        return ans;
    }
}fst;
multiset<int> st;
//multiset<pr> inv[MAXN];
ll inv[MAXN],invans[MAXN];
multiset<ll> ans;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("stdin.txt","r",stdin);
#endif
    int Test;
    scanf("%d",&Test);
    while(Test--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
        if(n==1){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        fst.init();
        T[0]=fst.build(1,n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            T[i]=fst.update(T[i-1],1,n,a[i],1);
        }
        st.clear(); ans.clear();
        st.insert(0),st.insert(n+1); 
        for(int i=0;i<=n+1;i++) inv[i]=0;
        ll lastans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(a[i]!=1){
                lastans+=fst.query(T[i],T[n],1,n,1,a[i]-1);
            }
        }
        inv[1]=n,invans[1]=lastans;
        ans.insert(lastans);
        printf("%lld ",lastans);
        ll mx=lastans;
        for(int i=1;i<n;i++){
            int k=lastans^p[i]; 
            st.insert(k);
            multiset<int>::iterator it,lo,hi;
            lo=hi=it=st.find(k);
            --lo,hi++;//被砍的位置
            int l=*lo,r=*hi;
            l++,--r;//实际操作的位置
            ll oldans=invans[l];
            ans.erase(ans.find(invans[l]));//这个答案必然无效
            if(l==k&&r==k){
                ans.insert(0),ans.insert(0);
                printf("%lld%c",lastans,i==n-1?'\n':' ');
                continue;
            }
            if(l==k){
                ll tmp=0;
                if(a[k]>1) tmp=fst.query(T[k],T[r],1,n,1,a[k]-1);
                inv[k+1]=r;
                invans[k+1]=oldans-tmp;
                ans.insert(0);
                ans.insert(oldans-tmp);
                lastans=*--ans.end();
                printf("%lld%c",lastans,i==n-1?'\n':' ');
                continue;
            }
            if(r==k){
                inv[l]=0;
                ll tmp=0;
                if(a[k]<n) tmp=fst.query(T[l-1],T[k-1],1,n,a[k]+1,n);
                inv[l]=k-1;
                invans[l]=oldans-tmp;
                ans.insert(0);
                ans.insert(oldans-tmp);
                lastans=*--ans.end();
                printf("%lld%c",lastans,i==n-1?'\n':' ');
                continue;
            }
            int len1=k-l+1,len2=r-k+1;
            ll ans1=0,ans2=0;
            if(len1<len2){
                for(int j=l;j<k;j++){
                    if(a[j]>1){
                        ans1+=fst.query(T[j],T[k-1],1,n,1,a[j]-1);
                    }
                }

                ll tmp=0;
                if(a[k]<n) tmp+=fst.query(T[l-1],T[k-1],1,n,a[k]+1,n);
//                multiset<pr>::iterator t=inv[l].begin();
                ans2=invans[l];

                ans2-=(ans1+tmp);//此时包括a[k]的逆序对贡献
                for(int j=l;j<=k;j++){
                    if(a[j]>1){
                        ans2-=fst.query(T[k],T[r],1,n,1,a[j]-1);//[k+1,r]
                    }
                }
                inv[l]=k-1; invans[l]=ans1;
                inv[k+1]=r; invans[k+1]=ans2;                
            }else{
                for(int j=k+1;j<=r;j++){
                    if(a[j]>1){
                        ans1+=fst.query(T[j],T[r],1,n,1,a[j]-1);//[k+1,r]
                    }
                }

                ll tmp=0;
                if(a[k]>1) tmp+=fst.query(T[k],T[r],1,n,1,a[k]-1);//[k+1,r]
//                multiset<pr>::iterator t=inv[l].begin();
                ans2=invans[l];

                ans2-=(ans1+tmp);
                for(int j=k;j<=r;j++){
                    if(a[j]<n){
                        ans2-=fst.query(T[l-1],T[k-1],1,n,a[j]+1,n);//[l,k-1]
                    }
                }
                inv[l]=k-1; invans[l]=ans2;
                inv[k+1]=r; invans[k+1]=ans1;//.insert(pr(k-1,ans2));
                //inv[k+1].insert(pr(r,ans1));
            }
            ans.insert(ans1);
            ans.insert(ans2);
            printf("%lld%c",*--ans.end(),i==n-1?'\n':' ');
            lastans=*--ans.end();
        }
    }
    return 0;
}

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