18华工校赛 – 小马哥的超级盐水 折半枚举

题意:小马哥有 $n$ 杯盐水,第 $i$ 杯有 $a_i$单位的盐和 $b_i$单位的水。小马哥很无聊,于是他想知道有多少种这 $n$ 杯盐水的非空子集,倒在一起之后盐和水的比是 $\frac{x}{y}$,范围$2<n<35$

这道题比赛没A出来,要是A了就能两个人分900块辣

//隔了一天才突然想到,我太菜了

折半枚举过程如下

分两个桶A,B,分别装前一半杯子的子集和后一半杯子的子集

先暴力枚举A桶所有组合,装入一个排好序的vec,这部分时间复杂度是$O(2^{n/2}log_22^{n/2})$

再暴力枚举B桶的方案,二分找出能和A匹配的方案个数,这部分时间复杂度也是$O(2^{n/2}log_22^{n/2})$

最后统计A、B自身符合条件的方案就行了

至于如何二分,可以考虑假设A的某个集合本身不能匹配,

设该状态盐总和为$a$,水总和为$b$,那么就有$ay≠bx$

设B桶枚举的集合中盐总和为$c$,水总和为$d$,那么有$(a+c)y=(b+d)x$

简单移项后得出$ay-bx=dx-cy$

按这条式子就能二分了

PS.实现是dalao写的,自己写的翻车了,思路没错..

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 40;
const int maxm = (1<<18)+5;

int elema[maxn],elemb[maxn];
int zka[maxm],zkb[maxm];

void ZHANGKAI(int val[],int elem[],int size)
{
    val[0] = 0;
    for(int i = 1;i<=size;i++)
    {
        int st = 1<<(i-1);
        int ed = 1<<i;
        for(int k = st;k<ed;k++)
        {
            val[k] = val[k-st]+elem[i];
        }
    }
}

int main()
{
    int kase;cin>>kase;
    for(int i = 0;i<kase;i++)
    {
        int n,x,y;
        int a,b;
        cin>>n>>x>>y;
        int half = n>>1;
        for(int i = 1;i<=half;i++)
        {
            cin>>a>>b;
            elema[i] = y*a-x*b;
        }

        for(int i = half+1;i<=n;i++)
        {
            cin>>a>>b;
            // elemb[i-half] = elema[i];
            elemb[i-half] = x*b-y*a;
        }
        ZHANGKAI(zka,elema,half);
        ZHANGKAI(zkb,elemb,n-half);
        int sizeb = (1<<(n-half));
        sort(zkb+1,zkb+sizeb);
        long long ans = 0;
        int end = 1<<half;
        for(int i = 1;i<end;i++)
        {
            int*a = lower_bound(zkb+1,zkb+sizeb,zka[i]);
            int*b = upper_bound(zkb+1,zkb+sizeb,zka[i]);
            int k = b-a;
            ans+=k;
        }
        for(int i = 1;i<end;i++) if(zka[i]==0) ans++;
        for(int i = 1;i<sizeb;i++) if(zkb[i]==0) ans++;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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