[八分之一的男人]POJ – 1743 后缀数组 height分组 带详解

题意:求最长不可重叠的相同差值子串的长度

这道题算是拖了好几个月,现在花了点时间应该搞懂了不少,尝试分析一下

我们首先来解决一个退化的版本,求最长不可重叠的相同子串(差值为0)

比如$aabaabaa$, 那么所求的子串有$aab,aba,baa$三个

如何求?不妨枚举.枚举是否有长度为$k$的最长不可重叠相同子串

可是后缀数组中并不能直接表示出子串,只能间接地用后缀来表示

长度为$k$的相同子串$=>$最大公共前缀长度为$k$的子串$=>$最大公共前缀长度大于等于$k$的后缀(注意非充要)

而我们所求的就是一个$lcp$,我们应该分组,每一组内的各个后缀的$lcp$都大于等于$k$,由$lcp$定义可转化为组内按$sa$排序$height$不得小于$k$

按照这个规则我们来看下上面的实例如何分组,这是枚举$k=3$时的情况

index=8    height[1]=0    $a$
-----
index=7    height[2]=1    $aa$
-----
index=4    height[3]=2    $aabaa$
index=1    height[4]=5    $aabaabaa$
-----
index=5    height[5]=1    $abaa$
index=2    height[6]=4    $abaabaa$
-----
index=6    height[7]=0    $baa$
index=3    height[8]=3    $baabaa$
-----

我们注意到按照这样排序是没办法知道两个子串是否重叠,所以需要记录$index$

其中$index$是指该后缀首字符在字符串中的位置(1为首),也就是$sa[i]$

那么我们现在就有办法去搞了,因为每一组都保证了$lcp>=k$,也就是如果重叠也算的话,每一组都是合法的分组(主要组内后缀个数大于1)

现在因为只有不可重叠才是合法条件所以需要剔除非法的后缀,既然有了$sa$值那就好办,如果组内任意两个后缀的$index$为$i,j$,那就需要$i_{max}-j_{min}>=k$,表示该组至少有一对符合条件

至此,枚举$k=3$的情况为真,得到的分组按顺序恰有$aab,aba,baa$三个,其他情况依次类推二分下去就好

现在再来看原来的问题:求最长相同的差值的不可重叠子串,输出该长度

既然要相同的差值,我们把原串$n$个字符(值)转化为$n-1$个值的差分数组

同样枚举最长的相同值的不可重叠子串,如果能枚举出最大的$k$是成立的,那答案还原回来就是$k+1$

但是,需要注意的是对于$index$,应该要满足$i_{max}-j_{min}>k$,因为差分数组是必须要留出"空隙"的,否则遇到临界情况就是两个不可重叠子串恰好相连,而这个是差分子串,还原回来就是中间的值恰好被两个原串重复选取了,这也是条件轻微更改的原因

不过这道题的数据应该是随机生成的,即使不改也会AC

楼教主的题真的好劲啊

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define rep(i,j,k) for(register int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(register int i=j;i>=k;i--)
#define erep(i,u) for(register int i=head[u];~i;i=nxt[i])
#define iin(a) scanf("%d",&a)
#define lin(a) scanf("%lld",&a)
#define din(a) scanf("%lf",&a)
#define s0(a) scanf("%s",a)
#define s1(a) scanf("%s",a+1)
#define print(a) printf("%lld",(ll)a)
#define enter putchar('\n')
#define blank putchar(' ')
#define println(a) printf("%lld\n",(ll)a)
#define IOS ios::sync_with_stdio(0)
using namespace std;
const int maxn = 1e6+11;
const int oo = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;
typedef long long ll;
ll read(){
    ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int str[maxn],n;
struct SA{
    int Rank[maxn],sa[maxn],tsa[maxn],A[maxn],B[maxn];
    int cntA[maxn],cntB[maxn];
    int height[maxn],best[maxn][30],n;//height[i]:第sa[i]与sa[i-1]的cp 
    void get(int nn){
        n=nn; 
        rep(i,0,666) cntA[i]=0;
        rep(i,1,n) cntA[str[i]]++;
        rep(i,1,666) cntA[i]+=cntA[i-1];
        rrep(i,n,1) sa[cntA[str[i]]--]=i;
        Rank[sa[1]]=1;
        rep(i,2,n){
            if(str[sa[i]]==str[sa[i-1]]){
                Rank[sa[i]]=Rank[sa[i-1]];
            }else{
                Rank[sa[i]]=1+Rank[sa[i-1]];
            }
        }
        for(int l=1;Rank[sa[n]]<n;l<<=1){
            rep(i,1,n) cntA[i]=cntB[i]=0;
            rep(i,1,n) cntA[A[i]=Rank[i]]++;
            rep(i,1,n) cntB[B[i]=(i+l<=n?Rank[i+l]:0)]++;
            rep(i,1,n) cntA[i]+=cntA[i-1],cntB[i]+=cntB[i-1];
            rrep(i,n,1) tsa[cntB[B[i]]--]=i;
            rrep(i,n,1) sa[cntA[A[tsa[i]]]--]=tsa[i];
            Rank[sa[1]]=1;
            rep(i,2,n){
                bool flag=A[sa[i]]==A[sa[i-1]]&&B[sa[i]]==B[sa[i-1]];
                flag=!flag;
                Rank[sa[i]]=Rank[sa[i-1]]+flag;
            }
        }
    }
    void ht(){
        int j=0;
        rep(i,1,n){
            if(j) j--;
            while(str[i+j]==str[sa[Rank[i]-1]+j]) j++;
            height[Rank[i]]=j;
        }
    }
    void rmq(){
        rep(i,1,n) best[i][0]=height[i];
        for(int i=1;(1<<i)<=n;i++){
            for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
                best[j][i]=min(best[j][i-1],best[j+(1<<(i-1))][i-1]);
            }
        }
    }
    int query(int l,int r){
        if(l==r)return -oo;
        if(l>r)swap(l,r);
        l++;
        int k=log2(r-l+1);
        return min(best[l][k],best[r-(1<<k)+1][k]);
    }
}sa;

bool check(int k){
    int mx=-oo,mn=oo;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(sa.height[i]>=k){
            mx=max(mx,max(sa.sa[i],sa.sa[i-1]));
            mn=min(mn,min(sa.sa[i],sa.sa[i-1]));
            if(mx-mn>k)return 1;
        }else{
            mx=-oo;mn=oo;
        }
    }
    return 0;
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n),n){
        rep(i,1,n) str[i]=read();
        if(n<5){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        rep(i,1,n) str[i]=str[i+1]-str[i]+100;
        str[n]=0;n--;
        sa.get(n);
        sa.ht();
        int l=0,r=n,mid,ans=0;
        while(l<=r){
            mid=(l+r)>>1;
            if(check(mid)) l=mid+1,ans=mid;
            else r=mid-1;
        }
        if(ans+1>=5) println((ans+1));
        else println(0);
    }
    return 0;
}

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